Metodo de Construcción y Calculo de Volumenes


Método de construcción de Volúmenes

VOLÚMENES Y POLIEDROS

1. CONCEPTOS

Un volumen, cuerpo o sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por un

número determinado de caras o superficies, que pueden ser planas o curvas. A diferencia de las figuras

planas, los volúmenes son tridimensionales.

En general, Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:

• Los poliedros (cuerpos planos), que son cuerpos geométricos limitados por polígonos.

• Los cuerpos redondos, que son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por

figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.

2. POLIEDROS.

En un poliedro cualquiera podemos distinguir los siguientes tres

elementos notables principales:

• Sus caras, que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen

forma de polígonos.

• Sus aristas, que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.

• Sus vértices, que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o

más aristas.

Asimismo, también podemos hablar de:

• Sus diagonales, que son los segmentos que unen vértices no consecutivos

del poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista). Hay que

distinguir entre las diagonales del poliedro y las de los polígonos que forman sus caras.


PRINCIPALES TIPOS DE POLIEDROS

REGULARES

Todas sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurre igual número de caras

Tetraedro


Tiene cuatro caras en forma de triángulos equilátero y cuatro vértices, en cada uno de los cuales concurren tres caras



Cubo o Hexaedro


Sus seis caras son cuadrados



Octaedro

Ocho caras con forma de triángulo equilátero, aparece como dos pirámides unidas por sus base.


Icosaedro

veinte caras con forma de triángulo equilátero, que tiene un eje plano hexagonal.

Dodecaedro

Doce caras con forma de Pentágono.

IRREGULARES

Sus caras son diferentes polígonos

Prisma Recto

Poliedro compuesto por caras laterales rectangulares (pueden ser cuadradas); y bases con forma de triángulo, cuadrado o polígono regular.



Prisma oblicuo

Es un prisma cuyas aristas laterales son oblicuas a las bases. Solo puede tener bases cuadradas.

Pirámide recta

Es un poliedro cuya única base es un polígono regular y cuyas caras laterales son triángulos que
coinciden en un punto común llamado vértice, que se encuentra en la misma perpendicular a la base que pasa por su centro.


Pirámide truncada

Poliedro limitado por la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales. Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas.


2. CUERPOS REDONDOS

Los cuerpos redondos no están limitados por polígonos. Dentro de los cuerpos hay que destacar

los volúmenes o sólidos de revolución, que son los generados al hacer girar una figura plana alrededor

de un eje.

CILINDRO

• Un cilindro es el cuerpo de revolución generado por un rectángulo al girar alrededor de

uno de sus lados.

• Está compuesto por dos bases circulares y una superficie curva continua, equivalente a

un rectángulo.

• Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman

generatrices.


CONO

• Un cono es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar

alrededor de uno de sus catetos.

• La base es un círculo y la distancia entre la base y el vértice se llama altura del cono.

• La hipotenusa del triángulo es la generatriz, g, del cono. El cateto sobre el cual se gira

es la altura, h.

• El otro cateto es el radio, r, de la base.


ESFERA

• Se llama superficie esférica al lugar geométrico de todos los puntos del espacio que

equidistan de uno interior llamado centro

• Se llama esfera a una superficie esférica y su interior.

• Se llama superficie esférica al lugar geométrico de todos los puntos del espacio que

equidistan de uno interior llamado centro.

• Se llama esfera a una superficie esférica y su interior.


3. DESARROLLO DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS PRINCIPALES

Si en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola

pieza y la extendemos en el plano, obtenemos un desarrollo del poliedro. El diagrama o desarrollo de un

poliedro, consiste, por lo tanto, en extender todos sus planos, unidos por un lado común, sobre un

mismo plano.

El desarrollo de un volumen tiene dos utilidades fundamentales, ya que permite obtener un

diseño plano de los diferentes cuerpos geométricos, facilitando tanto su construcción tridimensional en

materiales apropiados (cartulina, chapa metálica o madera laminar), como el cálculo de la superficie

total que ocupan las caras que lo determinan.

Poliedros regulares





Prismas


Pirámides




Cilindro







Método Para Calculo de Volúmenes

1.- El ortoedro



Área lateral = 2ac + 2bc

Área total = 2ac + 2bc + 2ab

Volumen = a · b · c



2.- El cubo



Área Total = 6· a 2

Volumen = a3






Área lateral = Producto del perímetro de la base por la altura.

AL = p . h

Área Total = Área lateral más el área de las dos bases.

AT = AL + 2 · Área de la base

Volumen = Área de la base por su altura

V = AB · h



4.- La pirámide



Área lateral = Producto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide, partido todo por dos.

=AL 

Área total = Área lateral + Área de la base

AT = AL + AB

Volumen = Un tercio del área de la base por altura

=V 



5.- El cilindro



Área lateral = Longitud de la circunferencia base por la generatriz.

AL = p· r · g

Área total = Área lateral más el área de las dos bases.

AT = 2· p · r (g + r)

Volumen = Producto del área de la base por la altura.

V = p . r2 . h



6.- El cono



Área lateral = Producto del radio por la generatriz y por p.

AL = p . r . g

Área Total = Área lateral más el área de la base.

AT = p . r . (g + r)

Volumen del Cono = Un tercio del área de la base por la altura.

V=

 
.

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